Основы адаптивных систем управления (ОАдСУ) 1: Одномерная система экстремального регулирования

Скачать архив Matlab-файлов для самостоятельного исследования.

Введение

Экстремальные регуляторы предназначаются для поддержания на экстремальном уровне некоторого показателя функционирования реального объекта. Экстремальный регулятор и объект экстремального регулирования составляют систему экстремального регулирования (СЭР). Характерными для СЭР являются априорно неизвестные, обычно относительно медленные, трансформации (дрейф) характеристик объекта. Поэтому СЭР с самого начала развивались как поисковые системы, в которых недостаток априорной информации восполнялся за счет текущей информации, получаемой в виде реакций объекта на поисковые (пробные, тестовые) воздействия.

В СЭР предполагается, что экстремальный выход объекта доступен для непосредственного измерения, либо вычисляется на основе выходных переменных объекта.

Предложено и реализовано большое количество СЭР, отличающихся по принципу действия, устройству, конструкции и сложности. Большинство из этих СЭР разработано еще до появления управляющих ЦВМ, микропроцессорных вычислителей. Поэтому они ориентированы на аналоговую и релейную технику. Некоторые из этих СЭР достаточно совершенные и рекомендуются для цифровой реализации.

В статье даются рекомендации, направленные на исследование одномерной статичной СЭР в различных условиях:
          1. без помехи;

2. с помехой;

3. с вертикальным дрейфом без помехи;

4. с горизонтальным дрейфом без помехи;

5. с помехой и горизонтальным, вертикальным дрейфом.

В заметке определены зависимости, показывающие влияние начальных условий на качество поиска. Представлены графики, соответствующие аппроксимированным функциям, полученным по экспериментальным данным.

Для исследования системы необходимо производить изменения значений соответствующих параметров, указанных в файлах Discrete_system_static.m и Qy.m.

1. Исходные данные

Модель . Исходная точка . Точка экстремума при . Порог . Начальный рабочий шаг а(1)=1, минимальный рабочий шаг , определяемый технологическим оборудованием (его разрешающей способностью). Ограничения , , . Число шагов поиска .

Рисунок 1.1 Структурная схема cсистемы

2. Проведение эксперимента

Проведём исследования одномерной системы экстремального регулирования, выполненной в дискретной реализации. Система статичная.

2.1 Исследование СЭР без помех и дрейфа

В системе отсутствует дрейф и помехи. Работа СЭР приведена на рисунке 2.1.

Потери R при этом: R = 8.0582e+003.

Рисунок 2.1 Работа дискретной СЭР в условиях без помех и дрейфа

2.2 Исследование СЭР в условиях аддитивной нормально распределённой помехи

В этом случае на систему действует помеха, однако дрейф отсутствует.

Нормально распределённая помеха описывается уравнением , где , W = 1.

По результатам моделирования получено R = 7.9443e+003.

Рисунок 2.2 Работа дискретной СЭР в условиях аддитивной нормально распределённой помехи

Выявим влияние порога δ на эффективность поиска:

Таблица 2.1 Влияние порога δ на R

δ	R
0.1	7.9443e+003
0.2	8.8813e+003
0.3	7.2313e+003
0.4	8.2257e+003
0.5	1.1276e+004
0.6	1.5512e+004
0.7	1.6320e+004
0.8	2.2226e+004
0.9	2.1684e+004

Рисунок 2.3 Влияние порога δ на R_, показана кубическая аппроксимация

2.3 Исследование СЭР в условиях горизонтального дрейфа без помехи V

Предположим, что дрейф имеет постоянное во времени и неизменное по величине воздействие на систему. Величина этого воздействия V_h = 0.2.

По результатам моделирования получено R = 1.1801e+004.

Определим зависимость эффективности работы системы от начального рабочего шага,

Таблица 2.2 Влияние начального рабочего шага a(1) на R

a(1)	R
1	1.1801e+004
2	2.6567e+003
3	1.2612e+003
4	815.4599
5	1.3216e+003
6	502.6657
7	3.2056e+003
8	2.4440e+003
9	1.0525e+004
10	2.8741e+003

Рисунок 2.4 Работа дискретной СЭР в условиях горизонтального дрейфа

Рисунок 2.5 Влияние начального рабочего шага a(1) на R

2.4 Исследование СЭР в условиях вертикального дрейфа без помехи V

Предположим, что дрейф имеет постоянное во времени и неизменное по величине воздействие на систему. Величина этого воздействия V_v = 2.

По результатам моделирования получено R = 1.1801e+004.

Рисунок 2.6 Работа дискретной СЭР в условиях вертикального дрейфа

Определим зависимость эффективности работы системы от начального рабочего шага,

Таблица 2.3 Влияние начального рабочего шага a(1) на R

a(1)	R
1	6.3997e+004
2	5.7696e+004
3	6.9427e+004
4	7.4316e+004
5	6.9815e+004
6	8.8378e+004
7	8.2861e+004
8	1.5272e+005
9	9.4662e+004
10	1.6284e+005

Рисунок 2.6 Влияние начального рабочего шага a(1) на R, показана кубическая аппроксимация

2.5 Исследование СЭР в условиях вертикального и горизонтального дрейфа без помех

Предположим, что горизонтальный дрейф имеет постоянное во времени и неизменное по величине воздействие на систему. Величина этого воздействия V_h = 0.2. При этом действует вертикальный дрейф, который  также имеет постоянное во времени и неизменное по величине воздействие на систему. Величина этого воздействия V_v = 2.

По результатам моделирования получено R =  4.2353e+004.

Рисунок 2.7 Работа дискретной СЭР в условиях вертикального дрейфа и горизонтального дрейфа

Определим зависимость эффективности работы системы от начального рабочего шага,

Таблица 2.4 Влияние начального рабочего шага a(1) на R

a(1)	R
1	5.5177e+004
2	1.7084e+004
3	2.6785e+004
4	2.9146e+004
5	2.3509e+004
6	2.7718e+004
7	4.4330e+004
8	2.6049e+004
9	9.6629e+004
10	5.0251e+004

Рисунок 2.8 Влияние начального рабочего шага a(1) на R

Приложение 1. Исходный код Matlab-файлов для моделирования и исследования системы

Файл Discrete_system_static.m:

clear;  clc;

%Параметры оптимизатора и целевой функции

Umin=-1;Umax=100;

amin=0.1; amax=1;

delta=0.0;%порог фильтра

N=100;     %N-количество шагов

N1=10;  W=1;

alfa=2/(N1+1); s(1)=1;

uopt=zeros(1,N+1);yopt=zeros(1,N);

mu=((log(amax)-log(amin))/N1);

gamma = @(i) exp(-mu*i);

u(1)=1; %начальное значение

a(1)=amax;

g(1)=1;i=1;

 dy(1)=1;

[y(1),uopt(1),yopt(1)]=Qy(u(1),1);

u(2)=u(1)+a(1);

for k=2:N

    [y(k),uopt(k),yopt(k)]=Qy(u(k),k);

 dy(k)=sign(y(k)-y(k-1)+delta);

  s(k)=alfa*dy(k)+(1-alfa)*s(k-1);

   d(k)=sign(s(k));

   if d(k)>-1

       a(k)=a(k-1);

   else

       i=i+1;

       a(k)=a(k-1)*gamma(i)/gamma(i-1);

   end

   if a(k)<amin

       a(k)=amin;

   end

   u(k+1) = u(k) + a(k)*dy(k);

  

   if (u(k+1) < Umin) || (u(k+1) > Umax)

       i=i+1;

       a(k) = a(k-1) * (gamma(i))/(gamma(i-1));

        u(k+1) = u(k)+a(k)*dy(k);

   end  

 t(k)=k;

end

t=1:N+1;

 plot(t,uopt,'*g');grid on

 hold on

 stairs(u);

 plot(yopt(1,:),'*m');grid on

 hold on

 plot(y(1,:),'--');

legend('uopt(k)-оптимум','u(k)','yopt(k','y(k)');

R=sum(y-yopt)^2/N

Файл Qy.m:

function [y, xopt, yopt]  = Qy(x,t)

%Положение оптимума (задать)

x0=30;y0=30;

%Скорость горизонтального дрейфа

Vx = 0.0;

%Скорость вертикального дрейфа

Vy = 0.0;

xopt = x0 + Vx * t;

yopt = y0 + Vy * t;

cko=0.0;  %СКО помехи

v = random('normal',0,cko,1,1);

y = -0.1 * (x - xopt).^ 2 + yopt+v;

end