Теория вероятности и математическая статистика: задача 2

Задача № 2

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй - 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Для решения воспользоваться формулой Байеса.

Решение

Пусть А событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения:

1    H1—деталь произведена первым автоматом, Р(H1) =2/3 (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй);

2    H2 — деталь произведена вторым автоматом, Р(H2) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, РH1(A) =0,6.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, РH2(А) =0,84. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р (В1)*РH1(А) + Р (В2)*РH2(А) = 2/3* 0,6+1/3*0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса:

PA(H1) = (P(H1)*PH1(A)) / P(A) = (2/3 *0.6)/0.68 = 10/17

Ответ: 10/17

Роботех 2013, Железногорск, Красноярский край

30 ноября в городе Железногорске прошёл сибирский робототехнический фестиваль РОБОТЕХ (http://roboteh.pro/). Фестиваль проводится третий год и является молодежным мероприятием в области мехатроники, робототехники и инновационных технологий.

В этом году РОБОТЕХ впервые проводится в городе Железногорске Красноярского края, на территории которого расположено ОАО «„Информационные спутниковые системы“ имени академика М. Ф. Решетнёва» — предприятие, производящее 70% российских спутников гражданского назначения. Фестиваль также получил «космическое» название — «миссия Марс».

Ранее фестиваль проводился в городе Красноярске.

Фото: Тимофей «Якут» Зуев

Справочник Matlab: как построить гистограмму

Для построения гистограммы в системе Matlab имеется встроенная функция histfit. Однако её применение удобно не во всех случаях. Ниже представлен способ построения диаграммы без использования функции histfit.

Скачать Matlab-файл (.m)

clc

clear

% Построение гистограммы

nu(1)=1; %частота попадания в квант

nu(2)=2;

nu(3)=3;

nu(4)=5;

nu(5)=10;

nu(6)=7;

nu(7)=5;

nu(8)=3;

nu(9)=2;

j = 0;

k = 0;

n  = 40; % объём выборки

xmin = -4;

xmax = 4;

dx = 1;

m = 100;

mx = 0.9;

s = 1.5; % дисперсия

for x=xmin:dx:xmax

   k=k+1;

   otnhast = nu(k)/n; %относительная частота

   for i=1:m

      j=j+1;

      osx(j)=x;

      osy(j)=otnhast;

      % формируем массив плотностей

      f(j) = (1/(s*sqrt(2*pi)))*exp((-(x-mx)^2)/(2*s^2));

      x=x+dx/m;

   end

end

hold off

    figure;

    plot(osx, osy); % график гистограммы

hold on

plot(osx,f,'g'); % график теоритической плотности 

  

Пример работы данной программы:

Теория вероятности и математическая статистика: задача 1

Одним из традиционных способов проверки и закрепления знаний является решение задач. Наш ресурс предлагает ознакомиться с типовыми задачами по теории вероятностей и математической статистике и их решением. Теоретический материал вы сможете найти в [1].

Теория вероятности и математическая статистика являются важными компонентами в таких дисциплинах как математические основы кибернетики и основы моделирования систем. Важно уделить особое внимание этим разделам математики

Задача 1

В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0, 9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0, 6 и 0, 9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Решение

Всего деталей = 50

Рассмотрим гипотезы о происхождении детали.

Н1 — деталь изготовлена 1-м заводом

Н2 — деталь изготовлена 2-м заводом

Н3 — деталь изготовлена 3-м заводом

Априорные вероятности гипотез:

Р(Н1) = 12\50

Р(Н2) = 20\50

Р(Н3) = 18\50

Условные вероятности события А - деталь отличного качества:

Р(А\Н1) = 0,9

Р(А\Н2) = 0,6

Р(А\Н3) = 0,9

По формуле полной вероятности:

Р(полная) = Р(А\Н1)·Р(Н1) + Р(А\Н2)·Р(Н2) + Р(А\Н3)·Р(Н3)

Р = (12\50)·0,9 + (20\50)·0,6 + (18\50)·0,9 = 0,9·0,6 + 0,6·0,4 = 0,6·1,3 = 0,78

Ответ: 0,78

Список литературы:

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, доп. М.: Высшая школа, 19.

Основы мехатроники и робототехники 1: Планирование траектории 4-3-4 в системе Matlab

В настоящей статье рассматривается планирование траектории движения манипулятора в системе Matlab.

MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory», в русском языке произносится как Матлаб) — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете.

Скачать Matlab-файл с текстом программы (.m)

         1. Общие сведения

Планирование траекторий движения манипулятора – это задача выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать:

1.     существуют ли на его пути какие-либо препятствия;

2.     накладываются ли какие-либо ограничения на траекторию схвата.

         В зависимости от ответов на эти вопросы выбирается один из четырех типов управления манипулятором (табл. 1).

Таблица 1. Типы управления манипулятором

		Препятствия на пути манипулятора
		Присутствуют	Отсутствуют
Ограничения на траекторию манипулятора	Присутствуют	I. Автономное планирование траектории, обеспечивающее обход препятствий, плюс регулирование движения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора	II. Автономное планирование траектории плюс регулирование движения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора
	Отсутствуют	III. Позиционное управление плюс обнаружение и обход препятствий в процессе движения	IV. Позиционное управление

         Рассмотрим планирование траектории манипулятора при отсутствии препятствий (II и IV тип). Задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.

          При планировании траекторий обычно применяется один из двух подходов:

1.        Задается точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не превышает некоторое заданное n) функцию, проходящую через узловые точки и удовлетворяющую в них заданным ограничениям. Определение ограничений и планирование траектории производится в присоединенных координатах.

2.        Задается желаемая траектория манипулятора в виде некоторой аналитически описываемой функции, как, например, прямолинейную траекторию в декартовых координатах. Планировщик производит аппроксимацию заданной траектории в присоединенных или декартовых координатах.

          Планирование в присоединенных переменных обладает тремя преимуществами:

1)    задается поведение переменных, непосредственно управляемых в процессе движения манипулятора;

2)    планирование траектории может осуществляться в реальном времени;

3)    траектории в присоединенных переменных легче планировать.

4)     Должны быть сведены к минимуму бесполезные движения типа «блуждания».

Рисунок 1. Блок-схема планировщика траекторий

         Недостаток – сложность определения положения звеньев и схвата в процессе движения. Это необходимо для предотвращения столкновения с препятствием.

         2. Реализация программы для расчёта траектории типа 4-3-4

         Программа рассчитывает траекторию типа 4-3-4 для одного сочленения манипулятора при условии отсутствия препятствий.

         На вход программы подаётся точный набор ограничений на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в узловых точках траектории.

         Программа рассчитывает неизвестные коэффициенты 

        

Результаты работы программы:

1.     Ввод данных

 

Рисунок 2. Окна ввода входных данных

2.     Полученные коэффициенты (вектор-столбец С):

Элемент матрицы коэффициентов C №1-1: 20

Элемент матрицы коэффициентов C №1-2: 40

Элемент матрицы коэффициентов C №1-3: 600

Элемент матрицы коэффициентов C №1-4: -1100.3559

Элемент матрицы коэффициентов C №1-5: 470.3559

Элемент матрицы коэффициентов C №2-1: 30

Элемент матрицы коэффициентов C №2-2: -269.4661

Элемент матрицы коэффициентов C №2-3: 272.4025

Элемент матрицы коэффициентов C №2-4: -12.9363

Элемент матрицы коэффициентов C №2-5: 0

Элемент матрицы коэффициентов C №3-1: 20

Элемент матрицы коэффициентов C №3-2: 91.3484

Элемент матрицы коэффициентов C №3-3: 25.9548

Элемент матрицы коэффициентов C №3-4: -195.9548

Элемент матрицы коэффициентов C №3-5: 118.6516

Сравним полученные коэффициенты с рассчитанными в (3), стр.

239:

Из приведённых данных следует, что полученные в ходе выполнения программы коэффициенты, верны.

3.     Построение графиков положения, скорости и ускорения от времени.

Рисунок 3. График положения

Рисунок 4. График скорости

Рисунок 5. График ускорения

Текст программы:

Математические основы кибернетики 1:Функции распределения и числовые характеристики случайных величин

Первый урок моделирования в системе Mathcad посвящен программированию равномерного и нормального закона распределения, их графическим представлениям, вычислениям основных числовых характеристик случайной величины. Также рассмотрено двумерное нормальное распределение, графическое представление, его числовые характеристики.

Скачать Mathcad-файл с примером (.xmcd)

Случайная величина есть величина определенной физической размерности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое в принципе нельзя предсказать, исходя из основного комплекса условий проведения эксперимента.

В зависимости от того, как определена область возможных значений, случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними числами нет возможных значений). При этом число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Если случайная величина принимает любое значение в области возможных значений, при этом число возможных значений ее оказывается бесконечным и несчетным, то она называется непрерывной случайной величиной.

Интегральной функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называется функция

, (1.1)

определяющая для каждого значения  вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньше чем .

Основные свойства интегральной функции распределения или как часто ее называют просто функции распределения

 (1.2)