Математические основы кибернетики 1:Функции распределения и числовые характеристики случайных величин

Первый урок моделирования в системе Mathcad посвящен программированию равномерного и нормального закона распределения, их графическим представлениям, вычислениям основных числовых характеристик случайной величины. Также рассмотрено двумерное нормальное распределение, графическое представление, его числовые характеристики.

Скачать Mathcad-файл с примером (.xmcd)

Случайная величина есть величина определенной физической размерности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое в принципе нельзя предсказать, исходя из основного комплекса условий проведения эксперимента.

В зависимости от того, как определена область возможных значений, случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними числами нет возможных значений). При этом число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Если случайная величина принимает любое значение в области возможных значений, при этом число возможных значений ее оказывается бесконечным и несчетным, то она называется непрерывной случайной величиной.

Интегральной функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называется функция

, (1.1)

определяющая для каждого значения  вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньше чем .

Основные свойства интегральной функции распределения или как часто ее называют просто функции распределения

 (1.2)

Дифференциальная функция распределения вероятностей

. (1.3)

Зачастую эту функцию называют функцией плотности распределения вероятностей.

Основные ее свойства

; ; ; (1.4)

; ; . (1.5)

Равномерное распределение имеет следующую функцию плотности распределения вероятностей

 (1.6)

где .

Числовые характеристики равномерного распределения математическое ожидание  и дисперсия  равны

. (1.7)

Нормальное распределение (Гаусса) определено следующей функцией плотности распределения вероятностей

, (1.8)

где  - математическое ожидание и дисперсия случайной величины .

Величину - называют средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины , а  соответственно центром и степенью рассеяния случайной величины .

Значения  и  используются для центрирования случайной величины

 (1.9)

и нормирования (стандартизации) случайной величины

. (1.10)

Очевидно, что .

Распределение системы двух случайных (координат) величин  и  или двумерного случайного вектора  задается интегральной функцией совместного распределения

 (1.11)

Если функция  достаточно гладкая, ее можно продифференцировать и получить двумерную плотность распределения вероятностей

, (1.12)

обладающую следующими свойствами

 (1.13)

Две случайные величины  и  называются независимыми, если их совместная функция распределения является произведением индивидуальных функций плотностей вероятности

, (1.14)

где .

Для независимых случайных величин  и  условные распределения равны

 (1.15)

Ковариация случайных величин  и , или корреляционный момент, или смешанный момент второго порядка

. (1.16)

Иначе

 (1.17)

Значение корреляционного момента служит определенной мерой зависимости между  и . Для независимых случайных величин . Удобнее в качестве меры взаимозависимости случайных величин использовать коэффициент корреляции (безразмерный параметр)

. (1.18)

По своему физическому смыслу коэффициент корреляции является простейшей характеристикой статистической связи, характеризующей лишь степень линейной зависимости  и .

Среди распределений выделим двумерное нормальное распределение, которое задается функцией плотности распределения вероятностей вида

, (1.19)

где  - вектор - столбец;

 - корреляционная матрица;

 - определитель корреляционной матрицы.

Степень рассеяния двух случайных величин  и  характеризуется площадью эллипса равного . Следовательно, чем больше , тем меньше площадь.

Условное распределение  также нормально с параметрами

 (1.20)

Стандартные функции Matlab:

normpdf(, , ) - дифференциальная функция распределения;

normcdf(, , ) - интегральная функция распределения;

norminv(, , ) - вычисление числа , удовлетворяющего условию ;

где  - интервал;  – вероятность;  - математическое ожидание;  - СКО.