Справочник Matlab: как построить годограф в Matlab — теория автоматического управления (ТАУ)

В статье даны краткие сведения о применении годографов (диаграмм, визуализирующих изменение векторной величины) для определения параметров колебательного звена. Приведён пример того, как построить годограф в MATLAB.

Теоретические сведения

Частотные и динамические свойства звена системы могут быть полностью определены его частотной передаточной функцией .

Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:

.

С изменением частоты входного гармонического воздействия изменяется модуль А и фаза φ частотной передаточной функции.

Для графического изображения частотных свойств звена используются амплитудно-фазовые (годографы), логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Годографы апериодического первого порядка (кривая 1) и колебательного (кривая 2) звеньев показаны на рисунке 1:

Рисунок 1: годографы апериодического первого порядка (кривая 1) и колебательного (кривая 2) звеньев

По виду годографа можно определить тип звена и его параметры.

 

Частотная передаточная функция колебательного звена имеет вид:

. (1)

При частоте ω =0 получаем коэффициент усиления звена W(jω)= K.

Для значения частотыфункция (1) имеет вид

,

то есть частотная передаточная функция в этом случае, является чисто мнимой величиной. Поэтому частота ω, в данном случае, соответствует точке пересечения годографа 2 с мнимой осью и величина отрезка: d= K/2ε, откуда нетрудно найти параметр степени затухания ε.

Таким образом, построив годограф W(jω) по экспериментально полученным значениям, можно определить параметры колебательного звена. По годографу 1 апериодического звена первого порядка также можно определить его параметры. Аналогично находят параметры и других динамических звеньев.

Построение годографа в MATLAB

Для построения годографа в MATLAB используется следующий код:

%M-file GODOGRAF - Построение годографа

A=[ ];

Fi=[ ];

Fir=Fi*pi/180;

polar(Fir,A)

Здесь:

A — матрица изменения значения модуля A;

Fi — матрица изменения значения фазы φ, град.;

Fir — матрица изменения значения фазы φ, выраженная в радианах (перевод из градусов в радианы);

Функция polar(theta,rho) производит построение графика в полярной системе координат. Аргументы функции: угол theta (рад.) и радиус rho.

Примеры применения подпрограммы для построения годографа в MATLAB

Пример 1: Построение годографа апериодического звена первого порядка в MATLAB

Примечание: значения A и Fi ранее получены по экспериментальным значениям (по частотной характеристике).

%M-file GODOGRAF - Построение годографа

A=[1.00 0.96 0.79 0.59 0.38 0.26];

Fi=[-8.57 -16.8 -40.5 -63.1 -66.3 -68.5];

Fir=Fi*pi/180;

polar(Fir,A)

Рисунок 2: годограф апериодического звена первого порядка, построенный средствами MATLAB

Пример 2: построение годографа колебательного звена в MATLAB

Примечание: значения A и Fi ранее получены по экспериментальным значениям (по частотной характеристике).

%M-file GODOGRAF - Построение годографа

A=[1.10 1.19 2.83 4.75 1.86 0.33 0.06];

Fi=[-1.1 -6.5 -27.0 -92.9 -153.8 -180.2 -184.9];

Fir=Fi*pi/180;

polar(Fir,A)

Рисунок 3: годограф колебательного звена, построенный средствами MATLAB