Теория автоматического управления (ТАУ) 1: Временные характеристики динамических звеньев

Данные рекомендации и примеры направлены на приобретение практических навыков, необходимых при исследовании динамических характеристик звеньев в системах автоматического управления.

Освоив данные примеры вы сможете ответить на вопросы:

1. Как получить переходную функцию звена в Matlab Simulink;

2. Как получить функцию веса звена в Matlab Simulink;

3. Как определить коэффициент усиления K звена;

4. Как определить постоянную времени T звена;

5. Как определить степень затухания ε колебательного звена.

Рассматриваются следующие виды звеньев:

1. Безынерционое (пропорциональное) звено;

2. Апериодическое звено первого порядка;

3. Колебательное звено;

4. Апериодическое звено второго порядка;

5. Идеальное интегрирующее звено;

6. Интегрирующее звено с замедлением;

7. Пропорционально-интегральное (изодромное) звено;

8. Дифференцирующее звено с замедлением.

Основные понятия

Передаточная функция звена – это отношение выходного параметра к входному, представленное в операторном виде.

Переходная, или временная характеристика (функция) h(t) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия

Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход.

Единичная импульсная функция, или дельта-функция, это производная от единичной ступенчатой функции . Дельта-функция  равна нулю везде, кроме точки , где она стремится к бесконечности.

         Функции связаны следующими уравнениями:         

    или .

Моделирование в Matlab Simulink

Для экспериментального определения временных  характеристик на вход звена подается единичная   ступенчатая  функция  или единичная импульсная функция.  Схема для расчета переходных характеристик в системе  Matlab изображена на рис. 1.

Рисунок 1.  Схема для экспериментального определения функции веса.

Схема для моделирования  функции веса  в системе  Matlab изображена на рис. 2.

Рисунок 2. Схема для экспериментального определения функции веса.

Исследуются временные характеристики следующих звеньев (во всех случаях принято n = 1, m = 1).

1.  Безынерционое (пропорциональное) звено.

Передаточная функция звена имеет вид

W(s) = K

Переходная функция h(t), при K = 1:

Рисунок 3. Переходная функция пропорционального звена.

2. Апериодическое звено первого порядка.

Передаточная функция звена имеет вид

1) При K = n, T = 0.3m

Переходная функция h(t):

Рисунок 4. Переходная функция апериодического звена первого порядка, K = 1, T = 0.3.

Функция веса данного звена:

Рисунок 5. Функция веса апериодического звена первого порядка, K = 1, T = 0.3.

1) При K = n, T = 0.8m

Переходная функция h(t):

Рисунок 6. Переходная функция апериодического звена первого порядка, K = 1, T = 0.8.

Функция веса данного звена:

Рисунок 7. Функция веса апериодического звена первого порядка, K = 1, T = 0.81.

3. Колебательное звено.

Передаточная функция звена имеет вид

1) При K = n, T = 0.1, ε=0.2

Переходная функция h(t):

Рисунок 8. Переходная функция колебательного звена при K = 1, T = 0.1, ε=0.2.

Используя полученные на графике данные, определим экспериментально T и ε:

         Что приблизительно соответствует заданному T=0.1

Функция веса для данного звена:

Рисунок 9. Функция веса колебательного звена при K = 1, T = 0.1, ε=0.2.

2) При K = n, T = 0.1, ε=0.05

Переходная функция h(t):

Рисунок 10. Переходная функция колебательного звена при K = 1, T = 0.1, ε=0.05.

Используя полученные на графике данные, определим экспериментально T и ε:

         Что приблизительно соответствует заданному T=0.1

Функция веса данного звена:

Рисунок 11. Функция веса колебательного звена при K = 1, T = 0.1, ε=0.05.

4. Апериодическое звено второго порядка.

Передаточная функция звена имеет вид

При K=1, T₃=0.1, T₄=0.4 переходная функция данного звена:

Рисунок 12. Переходная функция апериодического звена второго порядка с параметрами K=1, T₃=0.1, T₄=0.4

5. Идеальное интегрирующее звено.

Передаточная функция звена имеет вид

1) Для звена с параметром K=0.5 переходная функция:

Рисунок 13. Переходная функция идеального интегрирующего звена с параметром K=0.5.

2) Для звена с параметром K=1 переходная функция:

Рисунок 14. Переходная функция идеального интегрирующего звена с параметром K=1.

6) Интегрирующее звено с замедлением.

Передаточная функция звена имеет вид

Для звена с параметрами K=1, T=1.1 переходная функция:

Рисунок 15. Интегрирующее звено с замедлением, с параметрами K=1, T=1.1.

7) Пропорционально-интегральное (изодромное) звено.

Передаточная функция имеет вид:

где T=K₁/K

Для звена с параметрами K=2, K₁=1 переходная функция:

Рисунок 16. Переходная функция для изодромного звена с параметрами K=2, K₁=1

8) Дифференцирующее звено с замедлением.

Передаточная функция звена имеет вид

Звено с параметрами K=1, Т=0.1 имеет переходную функцию:

Рисунок 17. Переходная функция для дифференцирующего звена с замедлением, с параметрами K=1, T=0.1

         По полученным в пункте 3 параметрам постоим графики:

Для построения графиков используется код Matlab вида:

  t = 0: .01: 6;

  n=1; m=1;

  y1 = n*(1– exp(– t/(m*2)));

  y2 = n*(1– exp(– m*0.2*t).*(cos(2*t) –  (0.2*m/2)*sin(2*t)));

  y3= 0.1*n*t;

  plot(t,y1,'red',t,y2,'black',t,y3,'blue');

  grid;                                                

  xlabel('t,c');

  ylabel('y1,y2,y3');

        

а) Колебательного звена (K = 1, T = 0.1, ε=0.2):

Рисунок 18.

б) Апериодического звена первого порядка (K=1, T=0.3):

Рисунок 19.