Основы мехатроники и робототехники 3: Динамика манипулятора (Simulink MATLAB)

В данной заметке рассматривается динамика двухзвенного манипулятора. Процесс моделируется с помощью Simulink MATLAB.
Ссылки: скачать файл модели Simulink, скачать исходный код (*.m)

         1. Краткие теоретические сведения

         Предметом динамики манипулятора как раздела робототехники является математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения. Также уравнения необходимы для моделирования  движения манипулятора с помощью ЭВМ, при выборе законов уравнения и при оценке качества кинематической схемы и конструкции манипулятора.

         Задача управления включает задачу формирования динамической модели реального манипулятора и задачу выбора законов или стратегий управления, обеспечивающих выполнение поставленных целей.

         Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновой или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов является уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев.

         Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены методами Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера. Уравнения Лагранжа-Эйлера обеспечивают строгое описание динамики манипулятора. Их можно использовать для решения прямой и обратной задачи динамики.

         Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщённые ускорения, интегрирование которых позволит получить значения обобщённых координат и скоростей.

        Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщённым координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты. 

         2. Практическая часть

  Рассматриваемая структурная схема двухзвенного манипулятора, реализованная в пакете Matlab, представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 — структурная схема двухзвенного манипулятора

Основы моделирования систем 2: Корреляционный анализ (с применением Matlab)

Рассматривается решение задачи корреляционного анализа на конкретном практическом примере. Необходимые вычисления производятся в системе Matlab, поэтому конечная реализация является универсальной и гибкой, и может применяться и с другими входными данными.

Скачать текст программы для пакета Matlab (.m)

                                                                    

Задача: по данным годовых отчётов десяти (n=10) промышленных предприятий (см. табл. 1) найти оценки парных коэффициентов корреляции.     

Таблица 1

№ предприятия	x1	x2	y	№ предприятия	x1	x2	y
1	3	1.8	2.1	6	5	1.5	4.9
2	4	1.5	2.8	7	6	1.6	5.5
3	5	1.4	3.2	8	7	1.2	6.5
4	5	1.3	4.5	9	15	1.3	12.1
5	5	1.3	4.8	10	20	1.2	15.0

Описание работы программы

Программа реализует способ оценки парных коэффициентов корреляции, описанный в учебном пособии «Статистические методы в математическом моделировании и научных исследованиях»  (скачать).

Текст программы:

Основы мехатроники и робототехники 2: Моделирование позиционной системы управления одним сочленением манипуляционного робота (Matlab Simulink)

Рассматривется подбор субоптимальных параметров ПД-регулятора позиционной системы управления одним сочленением манипуляционного робота.

Используется пакет Simulink, входящий в состав Matlab.

        Скачать модель для пакета Simulink (.mdl)

        1. Позиционная система управления

        Назначение устройства позиционирования – управление двигателем таким образом, чтобы реальное угловое перемещение сочленения совпадало с желаемым угловым перемещением, определяемым заданной траекторией. Управление основано на выработке сигнала ошибки между заданным и действительным угловыми положениями сочленения для выработки соответствующего управляющего напряжения. Напряжение на двигателе прямо пропорционально ошибке:

,                          (1)

где  — коэффициент передачи обратной связи по положению, В/рад;

 — ошибка системы;

n – передаточное отношение, учитывающее приведение управляющего напряжения к валу двигателя;

  — желаемое угловое перемещение;

 — действительное угловое перемещение.

        При наличии обратной связи система управления из разомкнутой системы, преобразуется в замкнутую систему управления с помощью блока отрицательной обратной связи.

        Работа замкнутой системы управления второго порядка основана на критериях:

·  обеспечение хорошей динамики;

·   небольшая или нулевая статическая ошибка;

·   малое время переходных процессов.

Рисунок 1 — схема позиционной системы управления одним сочленением манипуляционного робота в Simulink

         2. Вычислительный эксперимент

         2.1. Текст программы:

Теория вероятности и математическая статистика: задача 3

Задача №3 

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t) = 1 - e^{0, 03 t}. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч: а)элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение

а) Так как функция распределения F(t) = 1 – e ^{-0, 03 t} определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив  t=100 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

F(100) = 1 – e ^{-0, 03*100} =0.95

б) события «элемент откажет» и «элемент не откажет» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет:

P=1-0.95 = 0.05

Основы моделирования систем 1: Проверка гипотезы по критерию Пирсона (в Matlab)

Скачать файл с текстом программы для Matlab (.m-файл)

1. Теоретическая часть.

Общие сведения

Оценка репрезентативности выборки с определенной вероятностью по­зво­ля­ет судить о границах генеральной выборки, сделать некоторые пред­по­ло­же­ния об отдельных параметрах случайной величины, таких, как математическое ожидание, дисперсия и др. Но при этом нельзя сделать вывод о характере распределения случайной величины. Полную харак­теристи­ку случайной величины дает закон ее распределения. Однако об этом законе в генеральной совокупности можно получить информацию только из частичных выборок. Поэтому необходимо иметь критерии оцен­ки соответствия статистических законов распределения, полученных из частичных выборок, теоретическим законам распределения, характери­зующим генеральную совокупность. Такими критериями являются крите­рии согласия. Наиболее известны критерии согласия Пирсона, Колмого­рова и Смирнова.

Параметрические критерии согласия

Критерий согласия Пирсона

В ходе эксперимента нередко возникает необходимость проверки гипотезы о виде распределения исследуемой выборки. В этом случае пространство значений исследуемой величины разбивают на r интервалов S₁, S₂,..., S_r, каждый из которых содержит примерно одинаковое число собы­тий. Для определения числа интервалов имеется несколько рекомен­даций, которые сводятся, например, к использованию следующих зависи­мостей:

Теория вероятности и математическая статистика: задача 2

Задача № 2

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй - 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Для решения воспользоваться формулой Байеса.

Решение

Пусть А событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения:

1    H1—деталь произведена первым автоматом, Р(H1) =2/3 (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй);

2    H2 — деталь произведена вторым автоматом, Р(H2) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, РH1(A) =0,6.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, РH2(А) =0,84. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р (В1)*РH1(А) + Р (В2)*РH2(А) = 2/3* 0,6+1/3*0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса:

PA(H1) = (P(H1)*PH1(A)) / P(A) = (2/3 *0.6)/0.68 = 10/17

Ответ: 10/17

Роботех 2013, Железногорск, Красноярский край

30 ноября в городе Железногорске прошёл сибирский робототехнический фестиваль РОБОТЕХ (http://roboteh.pro/). Фестиваль проводится третий год и является молодежным мероприятием в области мехатроники, робототехники и инновационных технологий.

В этом году РОБОТЕХ впервые проводится в городе Железногорске Красноярского края, на территории которого расположено ОАО «„Информационные спутниковые системы“ имени академика М. Ф. Решетнёва» — предприятие, производящее 70% российских спутников гражданского назначения. Фестиваль также получил «космическое» название — «миссия Марс».

Ранее фестиваль проводился в городе Красноярске.

Фото: Тимофей «Якут» Зуев

Справочник Matlab: как построить гистограмму

Для построения гистограммы в системе Matlab имеется встроенная функция histfit. Однако её применение удобно не во всех случаях. Ниже представлен способ построения диаграммы без использования функции histfit.

Скачать Matlab-файл (.m)

clc

clear

% Построение гистограммы

nu(1)=1; %частота попадания в квант

nu(2)=2;

nu(3)=3;

nu(4)=5;

nu(5)=10;

nu(6)=7;

nu(7)=5;

nu(8)=3;

nu(9)=2;

j = 0;

k = 0;

n  = 40; % объём выборки

xmin = -4;

xmax = 4;

dx = 1;

m = 100;

mx = 0.9;

s = 1.5; % дисперсия

for x=xmin:dx:xmax

   k=k+1;

   otnhast = nu(k)/n; %относительная частота

   for i=1:m

      j=j+1;

      osx(j)=x;

      osy(j)=otnhast;

      % формируем массив плотностей

      f(j) = (1/(s*sqrt(2*pi)))*exp((-(x-mx)^2)/(2*s^2));

      x=x+dx/m;

   end

end

hold off

    figure;

    plot(osx, osy); % график гистограммы

hold on

plot(osx,f,'g'); % график теоритической плотности 

  

Пример работы данной программы:

Теория вероятности и математическая статистика: задача 1

Одним из традиционных способов проверки и закрепления знаний является решение задач. Наш ресурс предлагает ознакомиться с типовыми задачами по теории вероятностей и математической статистике и их решением. Теоретический материал вы сможете найти в [1].

Теория вероятности и математическая статистика являются важными компонентами в таких дисциплинах как математические основы кибернетики и основы моделирования систем. Важно уделить особое внимание этим разделам математики

Задача 1

В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0, 9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0, 6 и 0, 9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Решение

Всего деталей = 50

Рассмотрим гипотезы о происхождении детали.

Н1 — деталь изготовлена 1-м заводом

Н2 — деталь изготовлена 2-м заводом

Н3 — деталь изготовлена 3-м заводом

Априорные вероятности гипотез:

Р(Н1) = 12\50

Р(Н2) = 20\50

Р(Н3) = 18\50

Условные вероятности события А - деталь отличного качества:

Р(А\Н1) = 0,9

Р(А\Н2) = 0,6

Р(А\Н3) = 0,9

По формуле полной вероятности:

Р(полная) = Р(А\Н1)·Р(Н1) + Р(А\Н2)·Р(Н2) + Р(А\Н3)·Р(Н3)

Р = (12\50)·0,9 + (20\50)·0,6 + (18\50)·0,9 = 0,9·0,6 + 0,6·0,4 = 0,6·1,3 = 0,78

Ответ: 0,78

Список литературы:

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, доп. М.: Высшая школа, 19.